Newton-Cartan Theory

In Generale {In gran parte da un messaggio di Sebastiano, 14.02.1996}
* Idea: Lo spazio-tempo è una varietà M di 4 dimensioni con le seguenti strutture: (i) Una funzione t: M → \(\mathbb R\) fissa, le cui ipersuperfici t = costante definiscono lo spazio ("metrica temporale''); (ii) Una metrica spaziale fissa h^ab, di segnatura (0,+,+,+), tale che h^ab ∇_b t = 0; (iii) Una connessione ∇_a dinamica che preserva h^ab, tale che ∇_a ∇_b t = 0 e R_abc^d soddisfa un paio di proprietà schifose, fra cui che le sezioni spaziali sono piatte; (iv) Se a tutto ciò si aggiunge un tensore energia-impulso, l'equazione di Poisson – meraviglia! – diventa R^ab = 8πG (T ^ab − \(1\over2\)T h^ab).
* Interesse: È la versions geometrica della teoria della gravità di Newton; In realtà, la NC è leggermente più generale della teoria di Newton, ma è il vero limite della relatività generale quando apri i coni di luce (c → ∞, influenze causali istantanee); Inoltre è strutturalmente assai simile alla relatività generale; Una teoria generale che include GR e NC come casi particolari è la frame theory di Ehlers.
* Nota: Uno si potrebbe chiedere perchè mai introdurre fra gli assiomi di NC la piattezza delle sezioni spaziali; Si potrebbe fare una teoria dove c'è uno spazio assoluto, ma è curvo (più generale di NC); Curiosamente, sembra però che solo NC si possa ottenere da GR per c → ∞; Questo è sorprendente, perchè non ci si aspetterebbe che una cosa come la piattezza spaziale venga influenzata da questioni di struttura causale! In realtà, le cose sono un pò più sottili, se si pensa che t = costante è il limite a cui tendono i coni di luce passato e futuro; Sembrerebbe che, aprendo questi coni fino a quando coincidono, la loro geometria sia forzata a diventare piatta.

References
@ General: Hall & Haddow IJTP(95); Rodrigues et al FP(95); in Malament gq/05-in; & Trautman, Ehlers, Künzle, Dixon; Cariglia PRD(18)-a1811; Vigneron a2012 [covariant 1+3 split].
@ Quantization: Christian PRD(97)gq [covariance, exactly soluble].
@ Torsional Newton-Cartan geometry: Bergshoeff et al CQG(15)-a1409 [and the Schrödinger algebra]; Bergshoeff et al a1708.
@ Matter fields: Fuini et al PRD(15)-a1510 [Lagrangians for spinor fields].
@ Related topics: Dautcourt CQG(97)gq/96 [Post-Newtonian extension]; Rueede & Straumann HPA(97)gq/96 [cosmology]; Wawrzycki IJTP(01), IJTP(01) [Schrödinger equation]; Bain SHPMP(04) [vs flat spacetime formulation]; Knox SHPMP(11) [and Newtonian gravity]; Rodríguez et al a1412 [in non-inertial reference frames]; Bekaert & Morand JMP(16)-a1505 [connections and dynamical trajectories]; Read & Teh CQG(18)-a1807 [teleparallel equivalent].

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